해밀턴 원리와 일반 상대성 이론

해밀턴 원리와 일반 상대성 이론

HAMILTONsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

H.A.로런츠와 D.힐베르트는 최근 일반 상대성 이론의 방정식을 단일 변분 원리로부터 유도함으로써 이론을 특별히 포괄적인 형태로 제시하는 데 성공하였다.^[1] 이곳에서도 같은 것을 할 것이다. 이곳에서 나의 목적은 일반 상대성 원리가 허용하는 한 최대한 투명하고 포괄적으로 그 근본적인 관련성을 제시하는 것이다. 힐베르트의 방법과 다르게, 나는 물질의 구성에 대한 가정을 최대한 줄일 것이다. 한편, 나의 이 주제에 관한 최근 접근 방식과도 다르게 좌표계의 선택은 완전히 자유롭게 둘 것이다.

§1. 변분 원리와 중력 및 물질의 장 방정식.

평소와 같이 중력장은 $g_{\mu \nu }$로 구성된 텐서(혹은 $g^{\mu \nu }$)로^[2] 기술하고, (전자기장을 포함한) 물질은 임의의 개수를 갖는 시공간 함수 $q_{(\varrho )}$로 기술하되 불변이론적 성질(invariantentheoretischer Charakter)은 무시한다. 또한, ${\mathfrak {H}}$는

$g^{\mu \nu },\,\,g_{\sigma }^{\mu \nu }\left(={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\right),\,\,g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }\left(={\frac {\partial ^{2}g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }\partial x_{\tau }}}\right)$ 와 $\,\,q_{(\varrho )},\,\,q_{(\varrho )\alpha }\left(={\frac {\partial q_{(\varrho )}}{\partial x_{\alpha }}}\right)$

의 함수라 하자. 그러면 변분 원리

$\delta \left\{\int {\mathfrak {H}}d\tau \right\}=0$

$(1)$

은 함수 $g_{\mu \nu }$와 $q_{(\varrho )}$의 개수만큼의 미분 방정식을 제공하며, 이들은 $g^{\mu \nu }$와 $q_{(\varrho )}$들이 서로 독립적으로 변분되어 적분의 경계에서 $\delta q_{(\varrho )},\,\,\delta g^{\mu \nu },\,\,{\frac {\partial \delta g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$가 모두 사라진다는 가정 속에 결정된다.

이제 ${\mathfrak {H}}$가 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에 대하여 선형이고 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$의 계수가 $g^{\mu \nu }$에만 의존한다고 가정하자. 그러면 변분 원리 $(1)$은 우리에게 보다 편리한 형태로 대체할 수 있다. 적절한 부분적분을 통해

$\int {\mathfrak {H}}d\tau =\int {\mathfrak {H}}^{*}d\tau +F$

$(2)$

를 얻는데, 이 때 $F$는 고려하는 정의역의 경계를 영역으로 하는 적분이고, ${\mathfrak {H}}^{*}$는 $g^{\mu \nu },g_{\sigma }^{\mu \nu },q_{(\varrho )},q_{(\varrho )\alpha }$에만 의존하고 $g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에는 의존하지 않는 양이다. 우리가 관심을 두는 변분에 대해서는 $(2)$로부터

$\delta \left\{\int {\mathfrak {H}}d\tau \right\}=\delta \left\{\int {\mathfrak {H}}^{*}d\tau \right\}$

$(3)$

를 얻으며, 이로부터 우리는 변분 원리 $(1)$을 보다 편리한

$\delta \left\{\int {\mathfrak {H}}^{*}d\tau \right\}=0$

$(1a)$

으로 교체할 수 있다.

$g^{\mu \nu }$과 $q_{(\varrho )}$를 따라서 변분을 취하면 중력과 물질의 장 방정식에 대하여 다음 방정식

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial g^{\mu \nu }}}=0$

$(4)$

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial q_{(\varrho )\alpha }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial q_{(\varrho )}}}=0$

$(5)$

을 얻는다.^[3]

§2. 중력장의 독립적 실재.

에너지 성분을 두 개의 독립적인 부분으로 분리하여 하나는 중력장으로, 하나는 물질로 두는 것은 ${\mathfrak {H}}$가 $g^{\mu \nu },\,g_{\sigma }^{\mu \nu },\,g_{\sigma \tau }^{\mu \nu },\,q_{(\varrho )},\,q_{(\varrho )\alpha }$에 의존하는 구체적 방식에 대하여 특수한 가정을 가하지 않는 한 불가능하다. 이론에 이러한 성질을 도입하기 위해서

${\mathfrak {H=G+M}}$

$(6)$

이라 가정하자. 여기에서 ${\mathfrak {G}}$는 $g^{\mu \nu },\,g_{\sigma }^{\mu \nu },\,g_{\sigma \tau }^{\mu \nu }$에만 의존하고 ${\mathfrak {M}}$은 $g^{\mu \nu },\,q_{(\varrho )},\,q_{(\varrho )\alpha }$에만 의존한다. 이 때 방정식 $(4),\,(5)$는

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g^{\mu \nu }}}={\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \nu }}}$

$(7)$

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial q_{(\varrho )\alpha }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial q_{(\varrho )}}}=0$

$(8)$

의 형태를 갖는다. 여기에서 ${\mathfrak {G}}^{*}$와 ${\mathfrak {G}}$는 ${\mathfrak {H}}^{*}$와 ${\mathfrak {H}}$의 관계와 같다.

${\mathfrak {M}}$ 또는 ${\mathfrak {H}}$가 각각 $q_{(\varrho )}$의 일계 미분보다 높은 차수에 의존한다면 방정식 $(8)$과 $(5)$는 다른 것으로 교체해야 한다는 것을 주의해야 한다. 마찬가지로, $q_{(\alpha )}$가 서로 독립적이지 않고 조건 방정식들에 의해서 서로 연관되어 있을 가능성도 상상할 수 있다. 이들은 모두 앞으로의 전개에서 관련이 없는데, 그것이 오로지 우리의 적분을 $g^{\mu \nu }$에 대하여 변분한 방정식 $(7)$에만 의존하기 때문이다.

§3. 불변 이론에 기반한 중력장 방정식의 성질.

이제

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

$(9)$

가 불변이라는 가정을 도입하자. 이는 $g_{\mu \nu }$의 변환적 성질을 고정한다. 물질을 기술하는 $q_{(\varrho )}$의 변환적 성질에 대해서는 아무런 가정도 하지 않는다. 그러나, 함수 $H={\frac {\mathfrak {H}}{\sqrt {-g}}}$와 $G={\frac {\mathfrak {G}}{\sqrt {-g}}},\,M={\frac {\mathfrak {M}}{\sqrt {-g}}}$은 시공간 좌표의 임의의 교체에 대하여 불변이어야 할 것이다. 이 가정으로부터 $(1)$에서 유도된 방정식 $(7)$과 $(8)$의 일반 공변성이 도출된다. 더 나아가 (비례상수를 감안한) $G$가 리만 곡률 텐서의 스칼라라는 결론이 나오는데, $G$에 요구되는 성질을 만족시키는 다른 불변량은 없기 때문이다.^[4] 이것으로, ${\mathfrak {G}}^{*}$ 그리고 그에 따라 장 방정식 $(7)$의 좌변은 완전히 결정된다.^[5]

일반 상대성의 공준은 함수 ${\mathfrak {G}}^{*}$의 어떤 성질을 수반하는데, 이것을 지금 유도할 것이다. 이 목적을 위해서 좌표의 무한히 작은 변환을 수행하여

$x_{\nu }'=x_{\nu }+\Delta x_{\nu }$

$(10)$

라 둔다. 여기에서 $\Delta x_{\nu }$는 좌표에 대하여 임의로 부여되는 무한히 작은 함수이다. $x_{\nu }'$은 새로운 좌표계에서의 세계점(world point)의 좌표를 나타내며, 원래 좌표계에서 $x_{\nu }$ 좌표를 갖는 점과 같은 점이다. 좌표처럼, 다른 임의의 양 $\psi$에 대한 변환 규칙이 있어서

$\psi '=\psi +\Delta \psi$

와 같다. 여기에서 $\Delta \psi$는 반드시 언제나 $\Delta x_{\nu }$의 항으로 기술될 수 있어야 한다. $g^{\mu \nu }$의 공변적 성질로부터 $g^{\mu \nu }$와 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$ 에 대한 변환 규칙은 쉽게 유도할 수 있다:

$\Delta g^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }{\frac {\partial \Delta x_{\nu }}{\partial x_{\alpha }}}+g^{\nu \alpha }{\frac {\partial \Delta x_{\mu }}{\partial x_{\alpha }}}$

$(11)$

$\Delta g_{\sigma }^{\mu \nu }={\frac {\partial (\Delta g^{\mu \nu })}{\partial x_{\sigma }}}-g_{\alpha }^{\mu \nu }{\frac {\partial \Delta x_{\alpha }}{\partial x_{\sigma }}}$

$(12)$

$\Delta {\mathfrak {G}}^{*}$는 $(11)$과 $(12)$의 도움으로 계산될 수 있는데, ${\mathfrak {G}}^{*}$는 오직 $g^{\mu \nu }$와 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$에만 의존하기 때문이다. 따라서, 다음 방정식

${\sqrt {-g}}\Delta \left({\frac {{\mathfrak {G}}^{*}}{\sqrt {-g}}}\right)=S_{\sigma }^{\nu }{\frac {\partial \Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }}}+2{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}$

$(13)$

을 얻으며, 여기에서

$S_{\sigma }^{\nu }=2{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }+2{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g_{\alpha }^{\mu \nu }+{\mathfrak {G}}^{*}\delta _{\sigma }^{\nu }-{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}}g_{\sigma }^{\mu \alpha }$

$(14)$

라 두었다. 이 두 방정식으로부터 우리는 앞으로 중요해지는 두 개의 결론을 얻는다. 우리는 ${\frac {\mathfrak {G}}{\sqrt {-g}}}$가 임의의 변환에 대하여 불변이지만 ${\frac {{\mathfrak {G}}^{*}}{\sqrt {-g}}}$는 그렇지 않다는 것을 안다. 하지만, 후자의 양이 좌표의 선형 변환에 대하여 불변이라는 것은 쉽게 증명된다. 결과적으로, $(13)$의 우변은 ${\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}$가 사라질 때 반드시 항상 사라져야 한다. 그러면 ${\mathfrak {G}}^{*}$는 반드시 항등식

$S_{\sigma }^{\nu }\equiv 0$

$(15)$

을 만족시켜야 한다.

만약 더 나아가 $\Delta x_{\nu }$가 고려하는 정의역 내부에서만 $0$과 다르고 경계의 무한한 근방에서는 사라진다고 설정하면, 방정식 $(2)$에서 경계를 따라 적분한 값은 좌표 변환 동안 변하지 않는다. 그러므로

$\Delta (F)=0$

을 얻고, 따라서^[6]

$\Delta \left\{\int {\mathfrak {G}}d\tau \right\}=\Delta \left\{\int {\mathfrak {G}}^{*}d\tau \right\}$

를 얻는다. 그런데 방정식의 좌변은 ${\frac {{\mathfrak {G}}^{*}}{\sqrt {-g}}}$와 ${\sqrt {-g}}d\tau$가 불변이므로 반드시 사라져야 한다. $(13),(14),(15)$에 의해 다음으로 방정식

$\int {\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }{\frac {\partial ^{2}\Delta x_{\sigma }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}d\tau =0$

$(16)$

을 얻는다.

두 번의 부분적분으로 정리하고, $\Delta x_{\sigma }$의 자유도를 고려하면 항등식

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)\equiv 0$

$(17)$

을 얻는다. 이제 ${\frac {\mathfrak {G}}{\sqrt {-g}}}$의 불변성, 즉 일반 상대성 공준으로부터 유도된 두 항등식 $(15)$와 $(17)$로부터 몇 가지 결과를 이끌어내야 한다.

중력장 방정식 $(7)$은 먼저 $g^{\mu \nu }$의 혼합 곱셈에 의해 변형될 수 있다. 그러면 (첨수 $\sigma$와 $\nu$를 교환하여) 방정식 $(7)$의 한 동치로써 다음 방정식

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}g^{\mu \nu }\right)=-({\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu })$

$(18)$

를 얻는다. 여기에서

${\begin{aligned}\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }&=-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\\\\\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }&=-\left({\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \sigma }}}g_{\alpha }^{\mu \nu }+{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma }}}g^{\mu \nu }\right)={\frac {1}{2}}\left({\mathfrak {G}}^{*}\delta _{\sigma }^{\nu }-{\frac {\partial {\mathfrak {G}}^{*}}{\partial g_{\nu }^{\mu \alpha }}}g_{\sigma }^{\mu \alpha }\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(19)\\\\\\(20)\end{aligned}}$

라 두었다. ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$의 후자 표현은 $(14)$와 $(15)$에 의해 정당화된다. $(18)$을 $x_{\nu }$에 대하여 미분하고 $\nu$에 대하여 더하면, $(17)$을 고려했을 때

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left({\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }\right)=0$

$(21)$

을 얻는다.

방정식 $(21)$은 운동량과 에너지의 보존을 나타낸다. 우리는 ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$를 물질 에너지의 성분, ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$를 중력장 에너지의 성분이라 부른다.

중력장 방정식 $(7)$로부터 ($g_{\sigma }^{\mu \nu }$를 곱한 다음, $\mu$와 ${\nu }$에 대하여 더하고 $(20)$을 고려하면)

${\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=0$

또는 $(19)$와 $(20)$을 고려하면,

${\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g_{\sigma }^{\mu \nu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0$

$(22)$

을 얻는다. 여기에서 ${\mathfrak {T}}_{\mu \nu }$는 $g_{\nu \sigma }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\sigma }$를 나타낸다. 이들은 물질 에너지의 성분이 만족시켜야 하는 네 개의 방정식이다.

여기에서 (일반 공변적인) 보존 법칙 $(21)$과 $(22)$가 (일반 공변성 공준과 함께) 중력장 방정식 $(7)$ 만으로부터 유도되었으며 물질 과정에 대한 장 방정식 $(8)$은 사용하지 않았다는 것을 강조한다.

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1. H.A.로런츠의 Publikationer d. Koninkl. Akad. van Wetensch. te Amsterdam 1915, 1916년 호의 4개 논문 및 D.힐베르트의 Gött. Nachr. 1915, Heft. 395.
2. 당분간, $g_{\mu \nu }$의 텐서 성질은 사용하지 않을 것이다.
3. 축약을 위해, 이 공식에서 합 기호는 빠져 있다. 어느 항에 첨수가 두 번 등장하면 합이 이루어져야 한다. 예를 들어, $(4)$에서 ${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)$는 $\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}^{*}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)$를 나타낸다.
4. 이것이 일반 상대성의 요구가 상당히 구체적인 중력 이론으로 이어지는 이유이다.
5. 부분 적분을 수행하면

   ${\mathfrak {G}}^{*}={\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\left[\left\{{\mu \alpha \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \alpha }\right\}-\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \beta \atop \beta }\right\}\right]$

   가 도출된다.

6. ${\mathfrak {H}}$와 ${\mathfrak {H}}^{*}$ 대신 ${\mathfrak {G}}$와 ${\mathfrak {G}}^{*}$를 도입하여