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수학적으로 생각한다는 뜻

초등학교에서 배우던 산수가 중학교의 수학으로 어떻게 발전되는가, 수학이란 어떤 것들이 그 기초로 되어 있는가, 산수에서 배우는 것들이 수학의 소재로 어떻게 이어지는가 등을 우리 주변의 알기 쉬운 보기를 통하여 알아보도록 하자.

다시 말하면, 산수의 내용을 '수학'이라는 입장에서 다시 검토해 보는 것이다.

수량화하기

일상 생활 중의 수량화

"태풍 10호는 7월 30일 현재, 제주도 남방 약 600km 해상에서 우리나라쪽을 향하여 시속 30km의 속도로 북상하고 있다. 동경 130

, 북위 28

부근을 항해 중인 선박은 주의를 요한다."

해마다 7월, 8월이 되면 이와 같은 태풍주의보가 텔레비전·라디오 방송이나 신문 등을 통하여 보도되는데, 여기에서 사용되고 있는 수를 주의하여 보면, 갖가지 다른 양을 같은 수로 나타내고 있다는 것을 알게 된다.

이를테면,

번호, 날짜, 시간, 거리, 속도, 위치 등이다.

만일, 이런 것들을 수량화(수로 나타냄)할 수 없다면 어떻게 될까. "남쪽에 태풍이 불고 있는데, 이것이 점차 우리나라쪽으로 다가오고 있다"라는 식으로밖에는 말할 수 없을 것이다. 또, 갖가지 다른 양에 다른 숫자를 사용하게 되면 그것 역시 번잡스러울 것이다.

오늘날의 사회에서는 모든 것을 수량화하려는 경향이 있다. 이를테면, 약품에서는 그 성분의 표시, 물 따위의 오염도를 ppm이라는 단위로, 무더운 날씨는 불쾌지수로, 또 태풍 때의 바람의 세기는 풍력으로 나타낸다.

이처럼 수량화가 이루어지는 까닭은 무엇일까.

그 까닭은 사회생활을 합리적으로 하기 위해서이다. 예를 들어, 이웃집에서 나는 피아노 소리 때문에 여러분이 공부하는 데 지장을 받고 있다고 하자. 참다 못해 항의를 하러 갔어도 이웃집 사람이 "학생이 신경이 좀 날카로워서 그런거야. 다른 집에서는 아무 말도 없잖아"하는 식으로 나오게 되면 결국에는 감정적인 싸움이 되기 십상이다.

그러나 만일 소음 측정기로 측정하여 60폰이 나왔다는 식으로 정확한 소음의 정도를 들이대면 모든 사람이 과연 시끄럽겠다고 인정을 해 줄 것이다.

이처럼 수량화는 사람들을 설득하거나 기록을 해두는 데 중요한 역할을 하는 것이다.

수량화의 방법

높은 A컵을 택한다.

그 까닭을 물으면 A컵에 든 주스가 더 많기 때문이라고 대답한다. 즉, 같은 양이라도 높이가 큰 쪽이 더 많아 보이기 때문인데, 실제로 어떤 쪽의 양이 더 많은가를 알아보기 위하여 구태여 몇 cc 등으로 수량화를 하지 않아도 된다. 한쪽 컵에 가득 든 주스를 다른 쪽 컵에 따라보면 어느 쪽에 더 많이 들어 있는가를 알 수 있기 때문이다.

그림 (2)의 직사각형이 밭이라고 한다면, 밭 A를 오려내 밭 B에 포개어 그 크기를 비교해 볼 수는 없는 것이므로 아무래도 수량화가 필요하게 된다.

인간의 감각이라는 것은 정확한 것 같으면서도 사실은 무척 애매한 것이다. 예컨대, 위 그림 (2)의 A, B에서는 대개의 사람들이 B쪽이 더 넓다고 한다. 이 경우에도 앞의 예의 어린 아이들과 마찬가지로 가로로 누워 있는 쪽보다 세로로 서 있는 쪽이 큰 것처럼 느끼게 되기 때문이다. 이런 점을 좀더 분명하게 하기 위하여 심리학 책에 실려 있는 착각의 그림을 소개한다. 어느 경우에나 부속물 또는 그 위치에 따라서 크기가 다른 것처럼 느껴진다. 마치, 옆집 피아노 소리가 좋아하는 곡일 때는 듣기 좋은 소리이고, 싫어하는 곡일 때는 소음으로 들리는 것과 같은 이치이다.

수량화는 이러한 환경이나 감각의 영향을 받지 않는 객관적인 양으로 나타내는 것이다. 수량화의 방법으로서는 예로부터 길이·넓이·부피·무게·온도·속도 등이 사용되어 왔다. 여기에서 수량화하는 도구를 알아보자.

오늘날에는 이것들 외에 불쾌지수(습도와 온도)와 같이 몇 가지의 결합에 의한 수량화, 진도·소음과 같은 측정기에 의한 수량화 등이 있다.

여러 가지 것들의 양이 수량화되면 비교하기가 어려운 것들, 예컨대 옛날과 지금, 멀리 떨어져 있는 것들을 비교할 수 있게 되고, 수치로 보존할 수도 있게 되며, 다시 계산하여 새로운 관계를 발견할 수도 있게 된다. 또한, 출전 회수가 다른 두 씨름선수나 프로야구 선수의 기량 등, 그대로의 수로 비교할 수 없을 때에는 승률·타율·방어율과 같은 비율로 비교할 수가 있다.

옛부터 내기나 도박이라는 것은 우연의 지배를 받는 것으로서, 수학과는 반대되는 세계로 생각되어 왔으나, 16세기경부터 이 우연 속에도 많은 횟수가 시행될 때는 어떤 일정한 법칙이 있다는 것을 발견하여 우연을 수량화하였다. 이것이 확률이다.

오늘날과 같은 대량생산 시대·정보화 시대에서는 통계적인 처리를 하기 위하여 확률은 중요한 학문으로서 없어서는 안 될 존재가 되어 있다.

17세기에는 도형의 성질을 증명하는 데 수량화하여 증명하는 방법이 발견되었다. 이것은 한마디로 말하면 도형을 그래프 용지 위에 올려놓고 수의 계산에 의하여 처리하려는 방법이다. 그때까지는 도형(기하학)과 수량(대수학)은 따로따로 발달하고 있었으므로, 이에 의하여 수학으로서는 일대 발전을 이루는 계기가 마련되었다고 할 수가 있다.

기호화하기

여러 가지 기호

현대는 정보화 시대라고 불린다. 갖가지 정보가 홍수처럼 쏟아져 나오는 속에서 외우기 쉽고 알기 쉽게 하기 위하여 이것들은 여러 가지 방법으로 기호화되어 있다. 아래 나타낸 기호는 우리가 주변에서 흔히 볼 수 있는 것들이다. 각각 어떤 일을 뜻하고 있는가, 또 무엇을 기호화한 것인가를 생각해 보자. 서울올림픽 대회장이나 지하철 역 구내 등에는 위 그림과 같이 기호화(도안화)된 안내표지가 곳곳에 있다. 이런 표지들의 좋은 점은 아이들도 알 수 있고, 외국인들도 그것이 각각 무엇을 의미하고 있는가를 알 수 있다는 점이다. 따라서, 기호는 나이나 국경을 초월한 언어라고도 할 수 있을 것이다.

수학은 기호의 학문이라 할 만큼 기호가 많다. 그러므로 외국어를 모르더라도 외국의 수학 교과서는 어느 정도 알아볼 수 있다.

기호로 쓰여져 있기 때문에 만국 공통의 학문으로 되는 것이다.

위의 예를 보더라도 수학에서는 기호화가 중요한 일이라는 것을 알 수 있을 것이다. 현재는 가장 기호화하기가 힘든 '논리'에 대하여서도 기호화가 추진되고 있다.

산수에서 처음에 배우는 +, -, = 등의 각종 기호의 대부분은 15·16세기에 만들어진 것으로서, 그 당시는 복잡하고 많은 계산을 빨리 해야 할 사회적인 필요가 있었다. 이 때문에 길다랗게 말로 나타내고 있던 그때까지의 방식을 기호로 바꾼 것이다.

다음에, 산수·수학에서 사용하는 주된 기호를 그 작용면에서 정리해 보자

그래프화하기

변화와 비교

아래 표는 A군이 자신과 누나의 초등학교 1학년 때부터 중학교 3학년 때까지의 키를 기록해 둔 것이다.A군과 누나의 신장표

이것을 꺽은선그래프로 만들면 다음과 같이 되어, 누나와 동생의 키가 자라는 과정의 차이를 뚜렷하게 볼 수 있다. 즉, 누나는 초등학교 4학년부터 중학교 1학년에 걸쳐 자라고, 동생은 중학교 1학년 때부터 자라기 시작하고 있다. 공부나 운동·성격 등의 면에서 다음과 같은 그래프가 사용하는 경우가 많아지고 있다.

평균에 대하여 자기의 강한 면과 약한 면을 한눈으로 볼 수 있는 그래프이다( ― 는 평균).

두 종류의 그래프를 동시에 사용하는 방법도 있다. 아래 그래프는 어떤 두 지방의 1년간의 기온과 강수량에 대한 변화와 비교의 그래프이다. 기온은 꺾은선그래프, 강수량은 막대그래프로 따로 나타냄으로써 그 관계를 살펴보기에 편리하다.

그림그래프는 막대그래프와 같은 비교의 그래프이다. 수학으로서는 정밀성이 없는 것이지만 알기 쉽고 즐거운 그래프이다.

남녀별·연령별·계급별 인구 통계 등에서 흔히 쓰이는 것에 히스토그램이 있다. 히스토그램은 막대그래프와 비슷하지만, 막대그래프가 길이의 그래프인데 대하여, 히스토그램은 넓이를 기초로 한 그래프이다.

전체에 대한 비율

아래 표는 어떤 학생의 1일 생활계획인데, 학기말 시험이 다가왔으므로 다른 계획안을 만들었다. 이 두 개의 계획표를 한 그래프에 나타내는 방법을 생각해 보자.

인구밀도를 나타내는 아래 그래프도 일종의 비율 그래프임과 동시에 비교의 그래프이기도 하다.

아래 그래프는 레저에 대하여 실시한 조사의 결과이다. 만약 집계된 인원수를 그냥 표로 만들었다면 보기가 무척 힘들어 읽어볼 마음이 내키지 않았을테지만, 띠그래프로 만들면 레저의 종류나 나이·성별의 차이 등을 한눈에 볼 수 있다.

이상에서 알 수 있듯이, 통계적인 자료는 그래프화함으로써 알아보기 쉽게 된다. 그래프화는 자료와 그 목적에 따라서 여러 가지 그래프가 이용된다. 이것을 크게 나누면 다음 세 종류가 있으며, 이것들을 다시 결합시키는 경우도 있다. 변화를 본다：꺾은선그래프(그림 1, 2, 3), 막대그래프(그림 3) 비교를 한다：그림그래프(그림 4), 막대그래프, 히스토그램(그림 5) 비율을 본다：띠그래프(그림 6), 원그래프(그림 7), 정사각형그래프(그림 8)

도형화하기

다음 다섯 사람의 대화에서 절대로 거짓말을 하지 않는 두 사람을 찾아내보자. 단, 나머지 세 사람은 맞는 말도 하고 거짓말도 한다. A............B는 거짓말장이는 아니다. B............C는 거짓말장이다. C............D는 거짓말장이다. D............E는 거짓말장이다. E............B는 거짓말장이다. A............E는 거짓말이는 아니다. E............C는 거짓말장이다. 한 번 읽기만 해서는 복잡하여 거짓말을 하지 않는 두 사람을 찾아내기가 약간 힘이 든다. 그래서, 이 다섯 사람이 말하는 관계를 도형화해 보기로 한다.

A:B는 거짓말장이가 아니다를 A -/-> B,

B:C는 거짓말장이다를 B --> C라는 기호로 나타내기로 약속하면 아래와 같은 관계도가 만들어진다. 이 그림에서, ① A가 '절대로 거짓말을 하지 않는다'고 하면 B, E도 거짓말장이가 아니게 된다. 거짓말을 안 하는 사람이 세 사람이 되므로 틀린다.② B가 '절대로 거짓말을 하지 않는다'고 하면 D가 거짓말장이가 아닌 것으로 되어 거짓말장이가 아닌 사람이 두 사람이 되므로 맞는다. 이런 식으로 그림을 보면서 조사할 수가 있다. 같은 요령으로 C, D, E가 각각 절대로 거짓말을 하지 않는 사람이라고 가정해서 조사해 보자. 같은 반 친구 사이의 친밀도를 나타내는 그림으로서 심리학자가 흔히 이용하는 것에 소시오그램이라는 것이 있다. 이를테면 도형화에 의하여 급우들의 교우 관계를 한눈에 볼 수 있게 된다. 이와 같은 수법은 옛날의 가계도나 여러 가지 유파의 계보도에서 그 예를 볼 수 있다. 여기에서, 유명한 스위스의 수학자 가문인 베르누이 가의 가계도를 소개한다. [주의] (

)는 후세에 이름을 남긴 위대한 수학자, (

)는 수학자가 아니라 한 가문에서 무려 10명이나 되는 수학자들을 배출한 명예로운 가문이다. 이 경우에도, 그냥 이름만 나열하거나 사망 순으로 늘어만 놓아서는 혈연 관계가 분명하게 나타나지 않지만, 이와 같은 계통도를 이용하면 그 관계를 파악하기가 쉽게 된다. 최근에는 본점과 지점을 잇거나 생산공장과 판매점을 잇는 등 교통망이나 철도·도로망, 나아가 컴퓨터 회로 등에 관한 연구와 결합하여 '그래프 이론'이라는 새로운 고급 수학으로 발전해 가고 있다.

수학을 생각하는 기초

집합과 원소

한 집합의 원소 사이의 관계

원소 조사

요일이라는 것은 그 날의 수를 7로 나눈 나머지로 유별(類別)한 것이다. 유별이라는 것은 한 개의 집합을 어떤 관점에서 공통 원소를 갖지 않고, 또 공집합이 없는 몇 개의 부분집합으로 나누는 것이다

원소 비교

두 개의 원소에 대하여 덧셈·뺄셈·나눗셈·곱셈등의 연산을 함으로써 다른 수를 만들어 집합의 원소를 늘린다.

수학과 집합

도형의 분류와 집합

여기에서는 여러 가지 도형에 대하여, 그 정의나 성질로부터 도형 사이의 관계를 집합의 관점에서 정리해 보자.각의 세 가지 관계는 하나의 관점(직각과 그보다 큰가 작은가)에 의한 유별이므로 포함되는 부분은 물론 공통 부분도 갖지 않는다.

여러 가지 삼각형의 분류에서는 변과 각과의 두 관점에서 나누므로 다음과 같이 된다.

수학의 소재

수식의 계산

식과 도형

숫자나 문자에 관한 여러 식을 도형으로 나타내어 그 의미와 관계를 살펴보자.

실측과 실험

측량의 방법

큰 강의 폭이나 연못, 집 등 장애물이 있는 두지점 사이의 거리, 혹은 커다란 나무나 건물의 높이 등은 줄자를 이용하여 직접 잴 수 없다. 그러나 도형의 성질을 알고 이를 이용하면 측량이 가능하다. 이에 대하여 살펴보기로 하자.

작도로 알 수 있는 도형의 성질

평행사변형의 성질과 작도

평행사변형은 직사각형·마름모꼴·정사각형을 포함하는 사각형의 대표적인 도형이다. 평행사변형의 정의 및 성질은 다음과 같다.

두 쌍의 대변이 평행하다(정의).

두 쌍의 대변의 길이가 같다.

대각선이 서로 중점에서 만난다.

위의 정의와 성질에 따른 조건을 바탕으로 평행사변형을 작도할 수 있다.

한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다.