중력의 장방정식

중력의 장방정식

Die Feldgleichungen der Gravitation

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

최근 출판된 두 논문^[1]에서 나는 일반 상대성 원리를 만족시키는 중력장 방정식(즉, 그 일반적인 형태는 시공간 변수의 임의적인 변환에 대하여 공변적이다.)을 어떻게 얻는지 설명하였다.

발전 과정은 다음과 같았다. 첫번째로, 나는 뉴턴 이론을 근사 법칙으로 포함하고 행렬식이 $1$인 임의의 변환에 대하여 공변인 방정식을 발견하였다. 그런 다음, "물질" 에너지 텐서의 스칼라가 사라질 경우 이 방정식은 일반 공변적인 것과 동등하다는 것을 발견하였다. 이 때, 좌표계는 ${\sqrt {-g}}$이 $1$이어야 한다는 단순한 규칙으로 특수화할 수 있으며, 이 때 이론의 방정식들은 상당한 단순화로 이어진다. 그러나, 이는 물질 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다는 가정을 도입해야 한다는 것을 명심해야 한다.

꽤 최근에 나는 단순히 물질 에너지 텐서를 장방정식에 약간 다른 방식으로 삽입함으로써 이 가정을 벗어날 수 있다는 사실을 깨달았다. 내가 수성의 근일점을 설명하기 위해 사용했던 진공에서의 장방정식은 이 수정의 영향을 받지 않는다. 독자들이 앞선 출판물들을 지속적으로 찾아볼 필요가 없도록, 그 고려사항들을 여기에서 온전히 반복하겠다.

잘 알려진 랭크 $4$의 리만 공변량(Riemannschen Kovariante)으로부터 다음 랭크 $2$의 공변량을 얻는다:

${\begin{array}{l}\displaystyle G_{im}=R_{im}+S_{im}\\\\\displaystyle R_{im}=-\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{l\varrho }\left\{{il \atop \varrho }\right\}\left\{{m\varrho \atop l}\right\}\\\\\displaystyle S_{im}=\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum _{l\varrho }\left\{{im \atop \varrho }\right\}\left\{{\varrho l \atop l}\right\}\end{array}}$

${\begin{array}{c}(1)\\\\\\\\(1a)\\\\\\\\(1b)\\\\\end{array}}$

중력장에 관한 $10$개의 일반 공변 방정식은 "물질"이 없는 공간에서 다음과 같이 두어 얻는다.

$G_{im}=0$

$(2)$

이 방정식은 ${\sqrt {-g}}=1$이 되도록 기준계를 선택하여 단순화시킬 수 있다. 이 때 $S_{im}$은 $(1b)$에 의해 사라지며, $(2)$ 대신

$R_{im}=\sum _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum _{l\varrho }\Gamma _{i\varrho }^{l}\Gamma _{ml}^{\varrho }=0$

$(3)$

${\sqrt {-g}}=1$

$(3a)$

을 얻는다. 여기에서

$\Gamma _{im}^{l}=-\left\{{im \atop l}\right\}$

$(4)$

라 두었으며, 이 양들을 중력장의 "성분"이라 부른다.

고려하는 공간에 "물질"이 존재하면, $(2)$와 $(3)$ 각각의 우변에 그 에너지 텐서가 나타난다.

$G_{im}=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

$(2a)$

$\sum _{\varrho \sigma }g^{\varrho \sigma }T_{\varrho \sigma }=\sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }=T$

$(5)$

라 두자. $T$는 "물질" 에너지 텐서의 스칼라이고, $(2a)$의 우변은 텐서이다. 다시 동일한 방식으로 좌표계를 특수화하면, $(2a)$ 대신 그와 동등한 다음 방정식을 얻는다.

$R_{im}=\sum _{l}{\frac {\partial \Gamma _{im}^{l}}{\partial x_{l}}}+\sum _{l\varrho }\Gamma _{i\varrho }^{l}\Gamma _{ml}^{\varrho }=-\varkappa \left(T_{im}-{\frac {1}{2}}g_{im}T\right)$

$(6)$

${\sqrt {-g}}=1$

$(3a)$

언제나처럼, 일반 미분학(allgemeinen Differentialkalkuls)의 관점에서 물질 에너지 텐서의 발산이 사라진다고 가정하자(에너지-운동량 정리). $(3a)$에 따라 좌표계의 선택을 특수화하면, 이는 기본적으로 $T_{im}$이 조건

$\sum _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }$

$(7)$

혹은

$\sum _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T_{\mu }^{\nu }$

$(7a)$

을 만족시킨다는 것을 의미한다. $(6)$에 ${\frac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}$을 곱한 다음 $i$와 $m$에 대하여 합하면 $(7)$과 $(3a)$로부터 얻는 관계

${\frac {1}{2}}\sum _{im}g_{im}{\frac {\partial g^{im}}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }}}=0$

로부터, 물질과 중력장이 결합된 형태의 보존 법칙

$\sum _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda })=0$

$(8)$

을 얻는다.^[2] 이 때 $t_{\sigma }^{\lambda }$ (중력장의 "에너지 텐서")는

$\varkappa t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum _{\mu \nu \alpha }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }$

$(8a)$

로 주어진다. $(2a)$와 $(6)$의 우변에 두번째 항을 대입하도록 내게 동기를 제공한 원인은 다음 내용으로 비로소 분명해진다. 하지만 과정 자체는 (p.785)의 내용과 완전히 동일하다.

$(6)$에 $g^{im}$을 곱하고 $i$와 $m$에 대하여 합하면, 간단한 계산을 거쳐

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)=0$

$(9)$

을 얻는다. 이 때 $(5)$에 대응하여, 다음 축약

$\sum _{\varrho \sigma }g^{\varrho \sigma }t_{\varrho \sigma }=\sum _{\sigma }t_{\sigma }^{\sigma }=t$

$(8b)$

를 사용하였다. 추가된 항은 $(9)$에서 중력장의 에너지 텐서가 물질의 것과 동일한 형태로 등장한다는 것을 주목해야 한다. 이것은 인용된 글의 방정식 $(21)$에서는 성립하지 않았다.

또한, 인용된 글의 방정식 $(22)$ 대신 그것과 동일한 과정을 거치면, 에너지 방정식의 도움을 받아 관계식

${\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\varkappa (T+t)\right]=0$

$(10)$

을 얻는다. 추가된 항은 이 방정식이 $(9)$와 비교하여 아무런 추가적인 조건도 요구하지 않게 만들어준다. 따라서 물질 에너지 텐서가 에너지 운동량 정리를 만족시킨다는 것 외에, 그것에 대하여 다른 가설을 세울 필요가 없다.

이것으로, 우리는 드디어 일반 상대성 이론의 논리적 구조를 완성하였다. 가장 일반화된 형태의 상대성 원리(시공간 좌표계를 물리적으로 무의미한 매개변수로 만든다.)는 매우 특징적인 중력 이론에 대한 설득력 있는 요구로 이어지며, 이 이론은 수성의 근일점 이동 역시 설명할 수 있다. 하지만, 일반 상대성 원리는 자연의 다양한 과정들의 본질에 대하여 특수 상대성 이론이 이미 알려준 것 이외에 새롭거나 다른 어떤 것도 알려주지 못한다. 이에 대하여 내가 이곳에서 최근 제시한 의견은 오류였다. 특수 상대성 이론과 맞는 모든 물리 이론은, 절대 미분학(absoluten Differentialkalkuls)의 도움으로 일반 상대성 이론에 통합될 수 있다. 후자의 이론은 물리 이론들의 정합성에 대하여 아무런 조건도 제시하지 않는다.

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1. Sitzungsber. 44, p.778 & 46, p.799 (1915).
2. 유도 과정은 Sitzungsber. 44 (1915), pp. 784-785를 참조하라. 다음 내용에 대해서는 p.785에 나와 있는 과정 또한, 비교를 위해 살펴보길 권장한다.