Zur allgemeinen Relativitätstheorie
Sitzungsberichte )에 제출한 논문[ 1]
새로운 비판을 통해, 나는 이러한 필연성을 그곳에서 제시했던 방법으로는 일절 증명할 수 없다는 것을 깨달았다. 그것을 해낸 것으로 보였던 것은 오류에 기반한 것이었다. 상대성 공준은, 내가 요구한대로라면, 해밀턴 원리를 바탕으로 했을 때 언제나 충족된다; 그러나, 실제에서 그것은 중력장의 해밀턴 함수
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
(
77
)
l.c.
{\displaystyle (77)\,{\text{l.c.}}}
H
{\displaystyle H}
(
77
)
{\displaystyle (77)}
(
78
)
l.c.
{\displaystyle (78)\,{\text{l.c.}}}
이러한 이유들로 인해 나는 내가 유도했던 장 방정식에 대한 믿음을 잃었으며, 가능성을 제한할 수 있는 보다 자연스러운 방법을 모색하였다. 이러한 과정에서 나는 장 방정식이 보다 일반적인 공변성을 가져야 한다는 요구로 되돌아왔으며, 이는 3년 전 내 친구 그로스만과 함께 작업하였을 때 무거운 마음으로 포기한 것이었다. 사실, 우리는 그 때 이 문제의 해법에 거의 가까웠으며, 이는 다음에 제시될 것이다.
특수 상대성 이론이 선형 직교 변환에 대하여 모든 방정식들이 공변적이어야 한다는 공준을 바탕으로 하고 있듯이, 이곳에서 구축하는 이론은 모든 방정식이 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
이를 진정으로 이해했다면 누구도 그 매력에서 헤어나지 못할 것이다. 이것은 가우스, 리만, 리치, 레비치비타가 세운 일반미분학(절대미분학)의 진정한 승리를 선언하기 때문이다.
작년의 내 논문에서 절대 미분학의 방법에 대한 자세한 설명을 제공했으므로, 공변량들을 생성하는 법칙에 대해서는 줄여도 괜찮을 것 같다. 그러므로 우리는 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
d
τ
′
=
∂
(
x
1
′
⋅
⋅
⋅
x
4
′
)
∂
(
x
1
⋅
⋅
⋅
x
4
)
d
τ
{\displaystyle d\tau '={\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}d\tau }
∂
(
x
1
′
⋅
⋅
⋅
x
4
′
)
∂
(
x
1
⋅
⋅
⋅
x
4
)
=
1
.
.
.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}=1\quad ...(1)}
d
τ
′
=
d
τ
.
.
.
(
2
)
{\displaystyle d\tau '=d\tau \quad ...(2)}
4
{\displaystyle 4}
d
τ
{\displaystyle d\tau }
(
17
)
l.c.
{\displaystyle (17)\,{\text{l.c.}}}
−
g
d
τ
{\displaystyle {\sqrt {-g}}d\tau }
−
g
′
=
−
g
.
.
.
(
3
)
{\displaystyle {\sqrt {-g\,'}}={\sqrt {-g}}\quad ...(3)}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
1
−
g
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}}
V
{\displaystyle V}
1. 텐서
G
i
k
l
m
=
−
g
δ
i
k
l
m
{\displaystyle G_{iklm}={\sqrt {-g}}\,\delta _{iklm}}
G
i
k
l
m
=
1
−
g
δ
i
k
l
m
{\displaystyle G^{iklm}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\,\delta _{iklm}}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
(
21
a
)
l.c.
{\displaystyle (21a)\,{\text{l.c.}}}
G
i
k
l
m
=
G
i
k
l
m
=
δ
i
k
l
m
.
.
.
(
4
)
{\displaystyle G_{iklm}=G^{\,iklm}=\delta _{iklm}\quad ...(4)}
2. 텐서의 확장에 관한 기본 공식
(
29
)
l.c.
{\displaystyle (29)\,{\text{l.c.}}}
(
30
)
l.c.
{\displaystyle (30)\,{\text{l.c.}}}
(
30
)
l.c.
{\displaystyle (30)\,{\text{l.c.}}}
(
31
)
l.c.
{\displaystyle (31)\,{\text{l.c.}}}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
=
∑
s
∂
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
s
∂
x
s
+
∑
s
τ
[
{
s
τ
α
1
}
A
τ
α
2
⋅
⋅
⋅
α
l
s
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
{
s
τ
α
l
}
A
τ
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
−
1
s
]
+
∑
s
τ
{
s
τ
s
}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
τ
.
.
.
(
5
)
{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]+\sum _{s\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}\tau }\quad ...(5)}
(
24
)
l.c.
{\displaystyle (24)\,{\text{l.c.}}}
(
24
a
)
l.c.
{\displaystyle (24a)\,{\text{l.c.}}}
∑
τ
{
s
τ
s
}
=
1
2
∑
α
s
g
s
α
(
∂
g
s
α
∂
x
τ
+
∂
g
τ
α
∂
x
s
−
∂
g
s
τ
∂
x
α
)
=
1
2
∑
s
α
g
s
α
∂
g
s
α
∂
x
τ
=
∂
(
log
−
g
)
∂
x
τ
.
.
.
(
6
)
{\displaystyle \sum _{\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha s}g^{s\alpha }\left({\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x_{s}}}-{\frac {\partial g_{s\tau }}{\partial x_{\alpha }}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{s\alpha }g^{s\alpha }{\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}={\frac {\partial (\log {\sqrt {-g}})}{\partial x_{\tau }}}\quad ...(6)}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
l
{\displaystyle l}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
=
∑
s
∂
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
s
∂
x
s
+
∑
s
τ
[
{
s
τ
α
1
}
A
τ
α
2
⋅
⋅
⋅
α
l
s
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
{
s
τ
α
l
}
A
τ
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
−
1
s
]
.
.
.
(
5
a
)
{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]\quad ...(5a)}
예를 들어, 정의
(
37
)
l.c.
{\displaystyle (37)\,{\text{l.c.}}}
Φ
=
1
−
g
∑
μ
∂
∂
x
μ
(
−
g
A
μ
)
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{\mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })}
Φ
=
∑
μ
∂
A
μ
∂
x
μ
.
.
.
(
7
)
{\displaystyle \Phi =\sum _{\mu }{\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\quad ...(7)}
6
{\displaystyle 6}
(
40
)
l.c.
{\displaystyle (40)\,{\text{l.c.}}}
A
μ
=
∑
ν
∂
A
μ
ν
∂
x
ν
.
.
.
(
8
)
{\displaystyle A^{\mu }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\quad ...(8)}
(
41
a
)
l.c.
{\displaystyle (41a)\,{\text{l.c.}}}
A
σ
=
∑
ν
∂
A
σ
ν
∂
x
ν
−
1
2
∑
μ
ν
τ
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
A
τ
ν
.
.
.
(
9
)
{\displaystyle A_{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \tau }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}A_{\tau }^{\nu }\quad ...(9)}
(
41
b
)
l.c.
{\displaystyle (41b)\,{\text{l.c.}}}
V
{\displaystyle V}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
5
a
)
{\displaystyle (5a)}
3. 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
4
{\displaystyle 4}
(
i
k
,
l
m
)
=
1
2
(
∂
2
g
i
m
∂
x
k
∂
x
l
+
∂
2
g
k
l
∂
x
i
∂
x
m
−
∂
2
g
i
l
∂
x
k
∂
x
m
−
∂
2
g
m
k
∂
x
l
∂
x
i
)
+
∑
ρ
σ
g
ρ
σ
(
[
i
m
ρ
]
[
k
l
σ
]
−
[
i
l
ρ
]
[
k
m
σ
]
)
.
.
.
(
10
)
{\displaystyle (ik,lm)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{mk}}{\partial x_{l}\partial x_{i}}}\right)+\sum _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }\left(\left[{im \atop \rho }\right]\left[{kl \atop \sigma }\right]-\left[{il \atop \rho }\right]\left[{km \atop \sigma }\right]\right)\quad ...(10)}
4
{\displaystyle 4}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
2
{\displaystyle 2}
(
10
)
{\displaystyle (10)}
(
i
k
,
l
m
)
=
(
l
m
,
i
k
)
(
i
k
,
l
m
)
=
−
(
k
i
,
l
m
)
.
.
.
(
11
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(ik,lm)&=(lm,ik)\\(ik,lm)&=-(ki,lm)\end{aligned}}\quad ...(11)}
G
i
m
=
∑
k
l
g
k
l
(
i
k
,
l
m
)
.
.
.
(
12
)
{\displaystyle G_{im}=\sum _{kl}g^{kl}(ik,lm)\quad ...(12)}
(
10
)
{\displaystyle (10)}
[ 2]
{
i
k
,
l
m
}
=
∑
ρ
g
k
ρ
(
i
ρ
,
l
m
)
=
∂
{
i
l
k
}
∂
x
m
−
∂
{
i
m
k
}
∂
x
l
+
∑
ρ
[
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
k
}
−
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
k
}
]
.
.
.
(
13
)
{\displaystyle \left\{ik,lm\right\}=\sum _{\rho }g^{k\rho }(i\rho ,lm)={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop k}\right\}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop k}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left[\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop k}\right\}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop k}\right\}\right]\quad ...(13)}
δ
k
l
=
∑
α
g
k
α
g
α
l
{\displaystyle \delta _{k}^{l}=\sum _{\alpha }g_{k\alpha }g^{\alpha l}}
G
i
m
{\displaystyle G_{im}}
G
i
m
=
{
i
l
,
l
m
}
=
R
i
m
+
S
i
m
.
.
.
(
14
)
R
i
m
=
−
∂
{
i
m
l
}
∂
x
l
+
∑
ρ
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
l
}
.
.
.
(
14
a
)
S
i
m
=
∂
{
i
l
l
}
∂
x
m
−
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
l
}
.
.
.
(
14
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{im}&=\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)\\\\R_{im}&=-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}}
1
{\displaystyle 1}
(
G
i
m
)
{\displaystyle (G_{im})}
(
R
i
m
)
{\displaystyle (R_{im})}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
(
6
)
{\displaystyle (6)}
{
i
l
l
}
{\displaystyle \left\{{il \atop l}\right\}}
4
{\displaystyle 4}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
(
29
)
l.c.
{\displaystyle (29)\,{\text{l.c.}}}
4
{\displaystyle 4}
(
G
i
m
)
{\displaystyle (G_{im})}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
(
14
)
{\displaystyle (14)}
(
R
i
m
)
{\displaystyle (R_{im})}
편집
1. (진공에서의 전자기 과정을 포함한) 물질에 관한 에너지-운동량 정리.
앞 절에서의 일반적인 고려사항에 의하면, 방정식
(
42
a
)
l.c.
{\displaystyle (42a)\,{\text{l.c.}}}
∑
ν
∂
T
σ
ν
∂
x
ν
=
1
2
∑
μ
τ
ν
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
T
τ
ν
+
K
σ
.
.
.
(
15
)
{\displaystyle \sum _{\nu }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {1}{2}}\sum _{\mu \tau \nu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\tau }^{\nu }+K_{\sigma }\quad ...(15)}
T
σ
ν
{\displaystyle T_{\sigma }^{\nu }}
K
σ
{\displaystyle K_{\sigma }}
4
{\displaystyle 4}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
1
2
∑
μ
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{\mu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}}
{
ν
σ
τ
}
{\displaystyle \left\{{\nu \sigma \atop \tau }\right\}}
ν
{\displaystyle \nu }
σ
{\displaystyle \sigma }
(
23
b
)
l.c.
{\displaystyle (23b)\,{\text{l.c.}}}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
ν
τ
{
σ
ν
τ
}
T
τ
ν
{\displaystyle \sum _{\nu \tau }\left\{{\sigma \nu \atop \tau }\right\}T_{\tau }^{\nu }}
Γ
μ
ν
σ
=
−
{
μ
ν
σ
}
=
−
∑
α
g
σ
α
[
μ
ν
α
]
=
−
1
2
∑
α
g
σ
α
(
∂
g
μ
α
∂
x
ν
+
∂
g
ν
α
∂
x
μ
−
∂
g
μ
ν
∂
x
α
)
.
.
.
(
16
)
{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=-\left\{{\mu \nu \atop \sigma }\right\}=-\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad ...(16)}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }}
T
σ
ν
{\displaystyle T_{\sigma }^{\nu }}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
α
∂
T
σ
α
∂
x
α
=
−
∑
α
β
Γ
σ
β
α
T
α
β
.
.
.
(
15
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }T_{\alpha }^{\beta }\quad ...(15a)}
중력장에 놓인 질점의 운동 방정식
(
23
b
)
l.c.
{\displaystyle (23b)\,{\text{l.c.}}}
d
2
x
τ
d
s
2
=
∑
μ
ν
Γ
μ
ν
τ
d
x
μ
d
s
d
x
ν
d
s
.
.
.
(
17
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\tau }}{ds^{2}}}=\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\quad ...(17)}
2. 인용된 논문의 10절과 11절에서의 고려사항은 변동이 없다. 다만
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
지금까지 말한 것으로부터, 중력장 방정식이 다음의 형태인 것은 명확하다.
R
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)}
1
{\displaystyle 1}
(
14
a
)
{\displaystyle (14a)}
(
16
)
{\displaystyle (16)}
∑
α
∂
Γ
μ
ν
α
∂
x
α
+
∑
α
β
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18a)}
δ
{
∫
(
L
−
ϰ
∑
μ
ν
g
μ
ν
T
μ
ν
)
d
τ
}
L
=
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
}
.
.
.
(
19
)
{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}\displaystyle \delta \left\{\int \left({\mathfrak {L}}-\varkappa \sum _{\mu \nu }g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\right)d\tau \right\}\\\\\displaystyle {\mathfrak {L}}=\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\end{array}}\right\}\quad ...(19)}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
∑
α
∂
∂
x
α
(
∂
L
∂
g
α
μ
ν
)
−
∂
L
∂
g
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
20
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(20)}
L
{\displaystyle {\mathfrak {L}}}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
(
=
g
σ
μ
ν
)
{\displaystyle {\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}(=g_{\sigma }^{\mu \nu })}
∂
L
∂
g
μ
ν
=
−
∑
α
β
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
.
.
.
(
21
)
∂
L
∂
g
α
μ
ν
=
Γ
μ
ν
α
.
.
.
(
21
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}&=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\quad ...(21)\\\\{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}&=\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\quad ...(21a)\end{aligned}}}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
이제, 에너지와 운동량의 보존 원리가 만족된다는 것을 쉽게 보일 수 있다.
(
20
)
{\displaystyle (20)}
g
σ
μ
ν
{\displaystyle g_{\sigma }^{\mu \nu }}
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
μ
ν
∂
∂
x
α
(
g
σ
μ
ν
∂
L
∂
g
α
μ
ν
)
−
∂
L
∂
x
σ
=
−
ϰ
∑
μ
ν
T
μ
ν
g
σ
μ
ν
{\displaystyle \sum _{\alpha \mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial x_{\sigma }}}=-\varkappa \sum _{\mu \nu }T_{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
λ
∂
T
σ
λ
∂
x
λ
=
−
1
2
∑
μ
ν
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
T
μ
ν
{\displaystyle \sum _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }}
∑
λ
∂
∂
x
λ
(
T
σ
λ
+
t
σ
λ
)
=
0
.
.
.
(
22
)
{\displaystyle \sum _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}\left(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda }\right)=0\quad ...(22)}
t
σ
λ
=
1
2
ϰ
(
L
δ
σ
λ
−
∑
μ
ν
g
σ
μ
ν
∂
L
∂
g
λ
μ
ν
)
.
.
.
(
22
a
)
{\displaystyle t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2\varkappa }}\left({\mathfrak {L}}\,\delta _{\sigma }^{\lambda }-\sum _{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\lambda }^{\mu \nu }}}\right)\quad ...(22a)}
(
22
a
)
{\displaystyle (22a)}
(
21
a
)
{\displaystyle (21a)}
t
σ
λ
=
1
2
δ
σ
λ
∑
μ
ν
α
β
g
μ
ν
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
−
∑
μ
ν
α
g
μ
ν
Γ
μ
σ
α
Γ
ν
α
λ
.
.
.
(
22
b
)
{\displaystyle t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum _{\mu \nu \alpha }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }\quad ...(22b)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
+
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }+\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
g
ν
λ
{\displaystyle g^{\nu \lambda }}
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
ν
∂
∂
x
α
(
g
ν
λ
Γ
μ
ν
α
)
−
∑
α
β
ν
g
ν
β
Γ
ν
μ
α
Γ
β
α
λ
=
−
ϰ
T
μ
λ
{\displaystyle \sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-\sum _{\alpha \beta \nu }g^{\nu \beta }\Gamma _{\nu \mu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }=-\varkappa \,T_{\mu }^{\lambda }}
(
22
b
)
{\displaystyle (22b)}
∑
α
ν
∂
∂
x
α
(
g
ν
λ
Γ
μ
ν
α
)
−
1
2
δ
μ
λ
∑
μ
ν
α
β
g
μ
ν
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
=
−
ϰ
(
T
μ
λ
+
t
μ
λ
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,\left(T_{\mu }^{\lambda }+t_{\mu }^{\lambda }\right)}
(
22
)
{\displaystyle (22)}
∂
∂
x
μ
[
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
]
=
0
.
.
.
(
24
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\right]=0\quad ...(24)}
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
=
0
.
.
.
(
24
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }=0\quad ...(24a)}
(
23
)
{\displaystyle (23)}
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)}
(
23
a
)
{\displaystyle (23a)}
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
0
{\displaystyle 0}
방정식
(
24
a
)
{\displaystyle (24a)}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
편집
방정식
(
24
a
)
{\displaystyle (24a)}
1
{\displaystyle 1}
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
=
0
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}=0}
4
{\displaystyle 4}
1
{\displaystyle 1}
∑
β
∂
g
α
β
∂
x
β
=
0
.
.
.
(
25
)
{\displaystyle \sum _{\beta }{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\quad ...(25)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
1
{\displaystyle 1}
1
2
∑
α
∂
2
g
μ
ν
∂
x
α
2
=
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
b
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{\,2}}}=\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)}
1
{\displaystyle 1}
운동의 상대성이 실제로 새로운 이론에서 보존된다는 것은, 허용되는 변환 중 기존 계에 대한 새로운 계의 (임의로 변하는 각속도의) 회전에 대응하는 것, 그리고 새로운 계의 원점이 기존 계에 대하여 임의적으로 정해진 운동을 수행하는 것 또한 포함되기 때문이다.
실제로, 변환
x
′
=
x
cos
τ
+
y
sin
τ
y
′
=
−
x
sin
τ
+
y
cos
τ
z
′
=
z
t
′
=
t
{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\,\,\,\,\,x\,\cos \,\tau +y\,\sin \,\tau \\y'&=-x\,\sin \,\tau +y\,\cos \,\tau \\z'&=z\\t'&=t\end{aligned}}}
x
′
=
x
−
τ
1
y
′
=
y
−
τ
2
z
′
=
z
−
τ
3
t
′
=
t
{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-\tau _{1}\\y'&=y-\tau _{2}\\z'&=z-\tau _{3}\\t'&=t\end{aligned}}}
τ
{\displaystyle \tau }
τ
1
,
τ
2
,
τ
3
{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}}
t
{\displaystyle t}
1
{\displaystyle 1}
Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)
[ 3]
그 정당성에 대하여 고려하고자 하는 가설은 다음 주제와 관련있다. "물질"의 에너지 텐서
T
μ
λ
{\displaystyle T_{\mu }^{\lambda }}
∑
μ
T
μ
μ
{\displaystyle \sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }}
0
{\displaystyle 0}
T
μ
ν
=
−
g
ρ
0
d
x
μ
d
s
d
x
ν
d
s
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}}
∑
μ
T
μ
μ
=
∑
μ
ν
g
μ
ν
T
μ
ν
=
ρ
0
−
g
{\displaystyle \sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }=\sum _{\mu \nu }g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=\rho _{0}{\sqrt {-g}}}
여기에서, 우리의 지식에 따라 "물질"이 원시적으로 주어지고 물리적으로 단순한 무언가로 이해되어서는 안 된다는 것을 명심해야 한다. 심지어 (적지 않은 수의) 누군가는 물질을 순수히 전기동역학적 과정으로 바꾸기를 희망하는데, 이는 물론 맥스웰의 전기동역학보다 더 완전한 이론에서 이루어져야만 할 것이다. 이제 그러한 완성된 전기동역학에서는 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다고 가정하자! 위에서 보여준 결과는 이 이론에서 물질이 구축될 수 없다는 것을 증명할까? 내 생각에는 이 질문에 아니라고 답할 수 있을 것 같다. 왜냐하면 기존 표현이 말하는 "물질"에서, 중력장은 중요한 요소를 차지하기 때문이다. 이 경우,
T
μ
μ
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}
(
T
μ
μ
+
t
μ
μ
)
{\displaystyle (T_{\mu }^{\mu }+t_{\mu }^{\mu })}
T
μ
μ
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}
∑
T
μ
μ
=
0
{\displaystyle \sum T_{\mu }^{\mu }=0}
중력장이 물질의 "핵심적인" 부분을 차지하는 것을 단정적으로 거부하는 사람이 아닌 한, 이 개념에 관한 강력한 증거를 다음에서 확인할 수 있을 것이다.[ 4]
우리의 가설은 일반 상대성이라는 아이디어로 향하는 마지막 발걸음이 바람직하도록 해준다. 즉, 중력장 방정식을 "일반" 공변적인 형태로 쓸 수 있게 해준다. 나는 이전 논문에서 (식
(
14
)
{\displaystyle (14)}
G
i
m
=
∑
l
{
i
l
,
l
m
}
=
R
i
m
+
S
i
m
.
.
.
(
14
)
{\displaystyle G_{im}=\sum _{l}\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)}
R
i
m
=
−
∑
l
∂
{
i
m
l
}
∂
x
l
+
∑
ρ
l
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
l
}
.
.
.
(
14
a
)
S
i
m
=
∑
l
∂
{
i
l
l
}
∂
x
m
−
∑
ρ
l
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
l
}
.
.
.
(
14
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{im}&=-\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho l}\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&=\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum _{\rho l}\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}}
G
i
m
{\displaystyle G_{im}}
우리는, 중력장 방정식이
G
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
b
)
{\displaystyle G_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)}
이 체계를 바탕으로 (좌표계를 후향적으로 선택함으로써) 내가 최근 논문에서 구축한 법칙들로 돌아올 수 있으며, 이들 법칙은 실질적으로 아무런 변화도 없다. 왜냐하면, 우리는 명백히
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
S
i
m
{\displaystyle S_{im}}
R
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)}
1
{\displaystyle 1}
일반 공변성으로부터 유도된 장방정식과 최근 논문의 것 사이의 유일한 내용적 차이는
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
우리의 현 유도 과정에서는 좌표계를 임의적으로 선택할 수 있기 때문에
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
(
23
a
)
{\displaystyle (23a)}
(
18
b
)
{\displaystyle (18b)}
−
g
=
1
.
.
.
(
23
b
)
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\quad ...(23b)}
![{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]+\sum _{s\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}\tau }\quad ...(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9e38c4dcd61a9d241aa9366c14db218e50c15e)
![{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]\quad ...(5a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c921f29a5e60e06ffd97e3a0fdd6b8275e506826)
![{\displaystyle (ik,lm)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{mk}}{\partial x_{l}\partial x_{i}}}\right)+\sum _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }\left(\left[{im \atop \rho }\right]\left[{kl \atop \sigma }\right]-\left[{il \atop \rho }\right]\left[{km \atop \sigma }\right]\right)\quad ...(10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1416cad994d7b860c223e9888089399dd222ff)
![{\displaystyle \left\{ik,lm\right\}=\sum _{\rho }g^{k\rho }(i\rho ,lm)={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop k}\right\}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop k}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left[\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop k}\right\}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop k}\right\}\right]\quad ...(13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175336127da3e25c32cf4806b5385961d8f7497e)
![{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=-\left\{{\mu \nu \atop \sigma }\right\}=-\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad ...(16)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8223881745326f34e158584cb645fb0019d112f)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\right]=0\quad ...(24)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216dfda72728623742f866ca0945f6404e13c9d3)
이 번역문은 원문과 다른 저작권의 적용을 받습니다. 원문과 번역문의 저작권은 다음과 같습니다.
위키미디어 재단의 이용 약관에서는 2008년 11월 이후 등록하는 GFDL 라이선스 하의 문서는 반드시 다른 라이선스와 함께 이중 등록할 것을 요구하고 있습니다. "GFDL만으로만 배포하는 것은 허용하지 않습니다". 이 조항은 텍스트 이외의 대상에는 적용되지 않습니다.
