Zur allgemeinen Relativitätstheorie
Sitzungsberichte )에 제출한 논문[ 1]
새로운 비판을 통해, 나는 이러한 필연성을 그곳에서 제시했던 방법으로는 일절 증명할 수 없다는 것을 깨달았다. 그것을 해낸 것으로 보였던 것은 오류에 기반한 것이었다. 상대성 공준은, 내가 요구한대로라면, 해밀턴 원리를 바탕으로 했을 때 언제나 충족된다; 그러나, 실제에서 그것은 중력장의 해밀턴 함수
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
(
77
)
l.c.
{\displaystyle (77)\,{\text{l.c.}}}
H
{\displaystyle H}
(
77
)
{\displaystyle (77)}
(
78
)
l.c.
{\displaystyle (78)\,{\text{l.c.}}}
이러한 이유들로 인해 나는 내가 유도했던 장 방정식에 대한 믿음을 잃었으며, 가능성을 제한할 수 있는 보다 자연스러운 방법을 모색하였다. 이러한 과정에서 나는 장 방정식이 보다 일반적인 공변성을 가져야 한다는 요구로 되돌아왔으며, 이는 3년 전 내 친구 그로스만과 함께 작업하였을 때 무거운 마음으로 포기한 것이었다. 사실, 우리는 그 때 이 문제의 해법에 거의 가까웠으며, 이는 다음에 제시될 것이다.
특수 상대성 이론이 선형 직교 변환에 대하여 모든 방정식들이 공변적이어야 한다는 공준을 바탕으로 하고 있듯이, 이곳에서 구축하는 이론은 모든 방정식이 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
이를 진정으로 이해했다면 누구도 그 매력에서 헤어나지 못할 것이다. 이것은 가우스, 리만, 리치, 레비치비타가 세운 일반미분학(절대미분학)의 진정한 승리를 선언하기 때문이다.
작년의 내 논문에서 절대 미분학의 방법에 대한 자세한 설명을 제공했으므로, 공변량들을 생성하는 법칙에 대해서는 줄여도 괜찮을 것 같다. 그러므로 우리는 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
d
τ
′
=
∂
(
x
1
′
⋅
⋅
⋅
x
4
′
)
∂
(
x
1
⋅
⋅
⋅
x
4
)
d
τ
{\displaystyle d\tau '={\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}d\tau }
∂
(
x
1
′
⋅
⋅
⋅
x
4
′
)
∂
(
x
1
⋅
⋅
⋅
x
4
)
=
1
.
.
.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}=1\quad ...(1)}
d
τ
′
=
d
τ
.
.
.
(
2
)
{\displaystyle d\tau '=d\tau \quad ...(2)}
4
{\displaystyle 4}
d
τ
{\displaystyle d\tau }
(
17
)
l.c.
{\displaystyle (17)\,{\text{l.c.}}}
−
g
d
τ
{\displaystyle {\sqrt {-g}}d\tau }
−
g
′
=
−
g
.
.
.
(
3
)
{\displaystyle {\sqrt {-g\,'}}={\sqrt {-g}}\quad ...(3)}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
1
−
g
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}}
V
{\displaystyle V}
1. 텐서
G
i
k
l
m
=
−
g
δ
i
k
l
m
{\displaystyle G_{iklm}={\sqrt {-g}}\,\delta _{iklm}}
G
i
k
l
m
=
1
−
g
δ
i
k
l
m
{\displaystyle G^{iklm}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\,\delta _{iklm}}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
(
21
a
)
l.c.
{\displaystyle (21a)\,{\text{l.c.}}}
G
i
k
l
m
=
G
i
k
l
m
=
δ
i
k
l
m
.
.
.
(
4
)
{\displaystyle G_{iklm}=G^{\,iklm}=\delta _{iklm}\quad ...(4)}
2. 텐서의 확장에 관한 기본 공식
(
29
)
l.c.
{\displaystyle (29)\,{\text{l.c.}}}
(
30
)
l.c.
{\displaystyle (30)\,{\text{l.c.}}}
(
30
)
l.c.
{\displaystyle (30)\,{\text{l.c.}}}
(
31
)
l.c.
{\displaystyle (31)\,{\text{l.c.}}}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
=
∑
s
∂
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
s
∂
x
s
+
∑
s
τ
[
{
s
τ
α
1
}
A
τ
α
2
⋅
⋅
⋅
α
l
s
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
{
s
τ
α
l
}
A
τ
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
−
1
s
]
+
∑
s
τ
{
s
τ
s
}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
τ
.
.
.
(
5
)
{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]+\sum _{s\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}\tau }\quad ...(5)}
(
24
)
l.c.
{\displaystyle (24)\,{\text{l.c.}}}
(
24
a
)
l.c.
{\displaystyle (24a)\,{\text{l.c.}}}
∑
τ
{
s
τ
s
}
=
1
2
∑
α
s
g
s
α
(
∂
g
s
α
∂
x
τ
+
∂
g
τ
α
∂
x
s
−
∂
g
s
τ
∂
x
α
)
=
1
2
∑
s
α
g
s
α
∂
g
s
α
∂
x
τ
=
∂
(
log
−
g
)
∂
x
τ
.
.
.
(
6
)
{\displaystyle \sum _{\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha s}g^{s\alpha }\left({\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x_{s}}}-{\frac {\partial g_{s\tau }}{\partial x_{\alpha }}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{s\alpha }g^{s\alpha }{\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}={\frac {\partial (\log {\sqrt {-g}})}{\partial x_{\tau }}}\quad ...(6)}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
l
{\displaystyle l}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
=
∑
s
∂
A
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
s
∂
x
s
+
∑
s
τ
[
{
s
τ
α
1
}
A
τ
α
2
⋅
⋅
⋅
α
l
s
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
{
s
τ
α
l
}
A
τ
α
1
⋅
⋅
⋅
α
l
−
1
s
]
.
.
.
(
5
a
)
{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]\quad ...(5a)}
예를 들어, 정의
(
37
)
l.c.
{\displaystyle (37)\,{\text{l.c.}}}
Φ
=
1
−
g
∑
μ
∂
∂
x
μ
(
−
g
A
μ
)
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{\mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })}
Φ
=
∑
μ
∂
A
μ
∂
x
μ
.
.
.
(
7
)
{\displaystyle \Phi =\sum _{\mu }{\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\quad ...(7)}
6
{\displaystyle 6}
(
40
)
l.c.
{\displaystyle (40)\,{\text{l.c.}}}
A
μ
=
∑
ν
∂
A
μ
ν
∂
x
ν
.
.
.
(
8
)
{\displaystyle A^{\mu }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\quad ...(8)}
(
41
a
)
l.c.
{\displaystyle (41a)\,{\text{l.c.}}}
A
σ
=
∑
ν
∂
A
σ
ν
∂
x
ν
−
1
2
∑
μ
ν
τ
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
A
τ
ν
.
.
.
(
9
)
{\displaystyle A_{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \tau }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}A_{\tau }^{\nu }\quad ...(9)}
(
41
b
)
l.c.
{\displaystyle (41b)\,{\text{l.c.}}}
V
{\displaystyle V}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
5
a
)
{\displaystyle (5a)}
3. 행렬식이
1
{\displaystyle 1}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
4
{\displaystyle 4}
(
i
k
,
l
m
)
=
1
2
(
∂
2
g
i
m
∂
x
k
∂
x
l
+
∂
2
g
k
l
∂
x
i
∂
x
m
−
∂
2
g
i
l
∂
x
k
∂
x
m
−
∂
2
g
m
k
∂
x
l
∂
x
i
)
+
∑
ρ
σ
g
ρ
σ
(
[
i
m
ρ
]
[
k
l
σ
]
−
[
i
l
ρ
]
[
k
m
σ
]
)
.
.
.
(
10
)
{\displaystyle (ik,lm)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{mk}}{\partial x_{l}\partial x_{i}}}\right)+\sum _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }\left(\left[{im \atop \rho }\right]\left[{kl \atop \sigma }\right]-\left[{il \atop \rho }\right]\left[{km \atop \sigma }\right]\right)\quad ...(10)}
4
{\displaystyle 4}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
2
{\displaystyle 2}
(
10
)
{\displaystyle (10)}
(
i
k
,
l
m
)
=
(
l
m
,
i
k
)
(
i
k
,
l
m
)
=
−
(
k
i
,
l
m
)
.
.
.
(
11
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(ik,lm)&=(lm,ik)\\(ik,lm)&=-(ki,lm)\end{aligned}}\quad ...(11)}
G
i
m
=
∑
k
l
g
k
l
(
i
k
,
l
m
)
.
.
.
(
12
)
{\displaystyle G_{im}=\sum _{kl}g^{kl}(ik,lm)\quad ...(12)}
(
10
)
{\displaystyle (10)}
[ 2]
{
i
k
,
l
m
}
=
∑
ρ
g
k
ρ
(
i
ρ
,
l
m
)
=
∂
{
i
l
k
}
∂
x
m
−
∂
{
i
m
k
}
∂
x
l
+
∑
ρ
[
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
k
}
−
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
k
}
]
.
.
.
(
13
)
{\displaystyle \left\{ik,lm\right\}=\sum _{\rho }g^{k\rho }(i\rho ,lm)={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop k}\right\}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop k}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left[\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop k}\right\}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop k}\right\}\right]\quad ...(13)}
δ
k
l
=
∑
α
g
k
α
g
α
l
{\displaystyle \delta _{k}^{l}=\sum _{\alpha }g_{k\alpha }g^{\alpha l}}
G
i
m
{\displaystyle G_{im}}
G
i
m
=
{
i
l
,
l
m
}
=
R
i
m
+
S
i
m
.
.
.
(
14
)
R
i
m
=
−
∂
{
i
m
l
}
∂
x
l
+
∑
ρ
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
l
}
.
.
.
(
14
a
)
S
i
m
=
∂
{
i
l
l
}
∂
x
m
−
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
l
}
.
.
.
(
14
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{im}&=\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)\\\\R_{im}&=-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}}
1
{\displaystyle 1}
(
G
i
m
)
{\displaystyle (G_{im})}
(
R
i
m
)
{\displaystyle (R_{im})}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
(
6
)
{\displaystyle (6)}
{
i
l
l
}
{\displaystyle \left\{{il \atop l}\right\}}
4
{\displaystyle 4}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
(
29
)
l.c.
{\displaystyle (29)\,{\text{l.c.}}}
4
{\displaystyle 4}
(
G
i
m
)
{\displaystyle (G_{im})}
(
S
i
m
)
{\displaystyle (S_{im})}
(
14
)
{\displaystyle (14)}
(
R
i
m
)
{\displaystyle (R_{im})}
편집
1. (진공에서의 전자기 과정을 포함한) 물질에 관한 에너지-운동량 정리.
앞 절에서의 일반적인 고려사항에 의하면, 방정식
(
42
a
)
l.c.
{\displaystyle (42a)\,{\text{l.c.}}}
∑
ν
∂
T
σ
ν
∂
x
ν
=
1
2
∑
μ
τ
ν
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
T
τ
ν
+
K
σ
.
.
.
(
15
)
{\displaystyle \sum _{\nu }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {1}{2}}\sum _{\mu \tau \nu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\tau }^{\nu }+K_{\sigma }\quad ...(15)}
T
σ
ν
{\displaystyle T_{\sigma }^{\nu }}
K
σ
{\displaystyle K_{\sigma }}
4
{\displaystyle 4}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
1
2
∑
μ
g
τ
μ
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{\mu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}}
{
ν
σ
τ
}
{\displaystyle \left\{{\nu \sigma \atop \tau }\right\}}
ν
{\displaystyle \nu }
σ
{\displaystyle \sigma }
(
23
b
)
l.c.
{\displaystyle (23b)\,{\text{l.c.}}}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
ν
τ
{
σ
ν
τ
}
T
τ
ν
{\displaystyle \sum _{\nu \tau }\left\{{\sigma \nu \atop \tau }\right\}T_{\tau }^{\nu }}
Γ
μ
ν
σ
=
−
{
μ
ν
σ
}
=
−
∑
α
g
σ
α
[
μ
ν
α
]
=
−
1
2
∑
α
g
σ
α
(
∂
g
μ
α
∂
x
ν
+
∂
g
ν
α
∂
x
μ
−
∂
g
μ
ν
∂
x
α
)
.
.
.
(
16
)
{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=-\left\{{\mu \nu \atop \sigma }\right\}=-\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad ...(16)}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }}
T
σ
ν
{\displaystyle T_{\sigma }^{\nu }}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
α
∂
T
σ
α
∂
x
α
=
−
∑
α
β
Γ
σ
β
α
T
α
β
.
.
.
(
15
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }T_{\alpha }^{\beta }\quad ...(15a)}
중력장에 놓인 질점의 운동 방정식
(
23
b
)
l.c.
{\displaystyle (23b)\,{\text{l.c.}}}
d
2
x
τ
d
s
2
=
∑
μ
ν
Γ
μ
ν
τ
d
x
μ
d
s
d
x
ν
d
s
.
.
.
(
17
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\tau }}{ds^{2}}}=\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\quad ...(17)}
2. 인용된 논문의 10절과 11절에서의 고려사항은 변동이 없다. 다만
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
지금까지 말한 것으로부터, 중력장 방정식이 다음의 형태인 것은 명확하다.
R
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)}
1
{\displaystyle 1}
(
14
a
)
{\displaystyle (14a)}
(
16
)
{\displaystyle (16)}
∑
α
∂
Γ
μ
ν
α
∂
x
α
+
∑
α
β
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18a)}
δ
{
∫
(
L
−
ϰ
∑
μ
ν
g
μ
ν
T
μ
ν
)
d
τ
}
L
=
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
}
.
.
.
(
19
)
{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}\displaystyle \delta \left\{\int \left({\mathfrak {L}}-\varkappa \sum _{\mu \nu }g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\right)d\tau \right\}\\\\\displaystyle {\mathfrak {L}}=\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\end{array}}\right\}\quad ...(19)}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
∑
α
∂
∂
x
α
(
∂
L
∂
g
α
μ
ν
)
−
∂
L
∂
g
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
20
)
{\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(20)}
L
{\displaystyle {\mathfrak {L}}}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
(
=
g
σ
μ
ν
)
{\displaystyle {\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}(=g_{\sigma }^{\mu \nu })}
∂
L
∂
g
μ
ν
=
−
∑
α
β
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
.
.
.
(
21
)
∂
L
∂
g
α
μ
ν
=
Γ
μ
ν
α
.
.
.
(
21
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}&=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\quad ...(21)\\\\{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}&=\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\quad ...(21a)\end{aligned}}}
(
19
)
{\displaystyle (19)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
이제, 에너지와 운동량의 보존 원리가 만족된다는 것을 쉽게 보일 수 있다.
(
20
)
{\displaystyle (20)}
g
σ
μ
ν
{\displaystyle g_{\sigma }^{\mu \nu }}
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
μ
ν
∂
∂
x
α
(
g
σ
μ
ν
∂
L
∂
g
α
μ
ν
)
−
∂
L
∂
x
σ
=
−
ϰ
∑
μ
ν
T
μ
ν
g
σ
μ
ν
{\displaystyle \sum _{\alpha \mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial x_{\sigma }}}=-\varkappa \sum _{\mu \nu }T_{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }}
(
15
)
{\displaystyle (15)}
∑
λ
∂
T
σ
λ
∂
x
λ
=
−
1
2
∑
μ
ν
∂
g
μ
ν
∂
x
σ
T
μ
ν
{\displaystyle \sum _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }}
∑
λ
∂
∂
x
λ
(
T
σ
λ
+
t
σ
λ
)
=
0
.
.
.
(
22
)
{\displaystyle \sum _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}\left(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda }\right)=0\quad ...(22)}
t
σ
λ
=
1
2
ϰ
(
L
δ
σ
λ
−
∑
μ
ν
g
σ
μ
ν
∂
L
∂
g
λ
μ
ν
)
.
.
.
(
22
a
)
{\displaystyle t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2\varkappa }}\left({\mathfrak {L}}\,\delta _{\sigma }^{\lambda }-\sum _{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\lambda }^{\mu \nu }}}\right)\quad ...(22a)}
(
22
a
)
{\displaystyle (22a)}
(
21
a
)
{\displaystyle (21a)}
t
σ
λ
=
1
2
δ
σ
λ
∑
μ
ν
α
β
g
μ
ν
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
−
∑
μ
ν
α
g
μ
ν
Γ
μ
σ
α
Γ
ν
α
λ
.
.
.
(
22
b
)
{\displaystyle t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum _{\mu \nu \alpha }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }\quad ...(22b)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
+
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }+\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
g
ν
λ
{\displaystyle g^{\nu \lambda }}
ν
{\displaystyle \nu }
∑
α
ν
∂
∂
x
α
(
g
ν
λ
Γ
μ
ν
α
)
−
∑
α
β
ν
g
ν
β
Γ
ν
μ
α
Γ
β
α
λ
=
−
ϰ
T
μ
λ
{\displaystyle \sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-\sum _{\alpha \beta \nu }g^{\nu \beta }\Gamma _{\nu \mu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }=-\varkappa \,T_{\mu }^{\lambda }}
(
22
b
)
{\displaystyle (22b)}
∑
α
ν
∂
∂
x
α
(
g
ν
λ
Γ
μ
ν
α
)
−
1
2
δ
μ
λ
∑
μ
ν
α
β
g
μ
ν
Γ
μ
β
α
Γ
ν
α
β
=
−
ϰ
(
T
μ
λ
+
t
μ
λ
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,\left(T_{\mu }^{\lambda }+t_{\mu }^{\lambda }\right)}
(
22
)
{\displaystyle (22)}
∂
∂
x
μ
[
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
]
=
0
.
.
.
(
24
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\right]=0\quad ...(24)}
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
−
∑
σ
τ
α
β
g
σ
τ
Γ
σ
β
α
Γ
τ
α
β
=
0
.
.
.
(
24
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }=0\quad ...(24a)}
(
23
)
{\displaystyle (23)}
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)}
(
23
a
)
{\displaystyle (23a)}
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
0
{\displaystyle 0}
방정식
(
24
a
)
{\displaystyle (24a)}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
편집
방정식
(
24
a
)
{\displaystyle (24a)}
1
{\displaystyle 1}
∑
α
β
∂
2
g
α
β
∂
x
α
∂
x
β
=
0
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}=0}
4
{\displaystyle 4}
1
{\displaystyle 1}
∑
β
∂
g
α
β
∂
x
β
=
0
.
.
.
(
25
)
{\displaystyle \sum _{\beta }{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\quad ...(25)}
(
18
a
)
{\displaystyle (18a)}
1
{\displaystyle 1}
1
2
∑
α
∂
2
g
μ
ν
∂
x
α
2
=
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
b
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{\,2}}}=\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)}
1
{\displaystyle 1}
운동의 상대성이 실제로 새로운 이론에서 보존된다는 것은, 허용되는 변환 중 기존 계에 대한 새로운 계의 (임의로 변하는 각속도의) 회전에 대응하는 것, 그리고 새로운 계의 원점이 기존 계에 대하여 임의적으로 정해진 운동을 수행하는 것 또한 포함되기 때문이다.
실제로, 변환
x
′
=
x
cos
τ
+
y
sin
τ
y
′
=
−
x
sin
τ
+
y
cos
τ
z
′
=
z
t
′
=
t
{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\,\,\,\,\,x\,\cos \,\tau +y\,\sin \,\tau \\y'&=-x\,\sin \,\tau +y\,\cos \,\tau \\z'&=z\\t'&=t\end{aligned}}}
x
′
=
x
−
τ
1
y
′
=
y
−
τ
2
z
′
=
z
−
τ
3
t
′
=
t
{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x-\tau _{1}\\y'&=y-\tau _{2}\\z'&=z-\tau _{3}\\t'&=t\end{aligned}}}
τ
{\displaystyle \tau }
τ
1
,
τ
2
,
τ
3
{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}}
t
{\displaystyle t}
1
{\displaystyle 1}
Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)
[ 3]
그 정당성에 대하여 고려하고자 하는 가설은 다음 주제와 관련있다. "물질"의 에너지 텐서
T
μ
λ
{\displaystyle T_{\mu }^{\lambda }}
∑
μ
T
μ
μ
{\displaystyle \sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }}
0
{\displaystyle 0}
T
μ
ν
=
−
g
ρ
0
d
x
μ
d
s
d
x
ν
d
s
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}}
∑
μ
T
μ
μ
=
∑
μ
ν
g
μ
ν
T
μ
ν
=
ρ
0
−
g
{\displaystyle \sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }=\sum _{\mu \nu }g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=\rho _{0}{\sqrt {-g}}}
여기에서, 우리의 지식에 따라 "물질"이 원시적으로 주어지고 물리적으로 단순한 무언가로 이해되어서는 안 된다는 것을 명심해야 한다. 심지어 (적지 않은 수의) 누군가는 물질을 순수히 전기동역학적 과정으로 바꾸기를 희망하는데, 이는 물론 맥스웰의 전기동역학보다 더 완전한 이론에서 이루어져야만 할 것이다. 이제 그러한 완성된 전기동역학에서는 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다고 가정하자! 위에서 보여준 결과는 이 이론에서 물질이 구축될 수 없다는 것을 증명할까? 내 생각에는 이 질문에 아니라고 답할 수 있을 것 같다. 왜냐하면 기존 표현이 말하는 "물질"에서, 중력장은 중요한 요소를 차지하기 때문이다. 이 경우,
T
μ
μ
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}
(
T
μ
μ
+
t
μ
μ
)
{\displaystyle (T_{\mu }^{\mu }+t_{\mu }^{\mu })}
T
μ
μ
{\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}
∑
T
μ
μ
=
0
{\displaystyle \sum T_{\mu }^{\mu }=0}
중력장이 물질의 "핵심적인" 부분을 차지하는 것을 단정적으로 거부하는 사람이 아닌 한, 이 개념에 관한 강력한 증거를 다음에서 확인할 수 있을 것이다.[ 4]
우리의 가설은 일반 상대성이라는 아이디어로 향하는 마지막 발걸음이 바람직하도록 해준다. 즉, 중력장 방정식을 "일반" 공변적인 형태로 쓸 수 있게 해준다. 나는 이전 논문에서 (식
(
14
)
{\displaystyle (14)}
G
i
m
=
∑
l
{
i
l
,
l
m
}
=
R
i
m
+
S
i
m
.
.
.
(
14
)
{\displaystyle G_{im}=\sum _{l}\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)}
R
i
m
=
−
∑
l
∂
{
i
m
l
}
∂
x
l
+
∑
ρ
l
{
i
l
ρ
}
{
ρ
m
l
}
.
.
.
(
14
a
)
S
i
m
=
∑
l
∂
{
i
l
l
}
∂
x
m
−
∑
ρ
l
{
i
m
ρ
}
{
ρ
l
l
}
.
.
.
(
14
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{im}&=-\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho l}\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&=\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum _{\rho l}\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}}
G
i
m
{\displaystyle G_{im}}
우리는, 중력장 방정식이
G
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
b
)
{\displaystyle G_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)}
이 체계를 바탕으로 (좌표계를 후향적으로 선택함으로써) 내가 최근 논문에서 구축한 법칙들로 돌아올 수 있으며, 이들 법칙은 실질적으로 아무런 변화도 없다. 왜냐하면, 우리는 명백히
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
S
i
m
{\displaystyle S_{im}}
R
μ
ν
=
−
ϰ
T
μ
ν
.
.
.
(
18
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)}
1
{\displaystyle 1}
일반 공변성으로부터 유도된 장방정식과 최근 논문의 것 사이의 유일한 내용적 차이는
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
∑
α
β
∂
∂
x
α
(
g
α
β
∂
log
−
g
∂
x
β
)
=
−
ϰ
∑
σ
T
σ
σ
.
.
.
(
23
a
)
{\displaystyle \sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)}
−
g
{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
우리의 현 유도 과정에서는 좌표계를 임의적으로 선택할 수 있기 때문에
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
(
23
a
)
{\displaystyle (23a)}
(
18
b
)
{\displaystyle (18b)}
−
g
=
1
.
.
.
(
23
b
)
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\quad ...(23b)}
↑ "Die formale Grundlage der Relativitätstheorie," Sitzungsberichte 41 (1914), pp. 1066-1077. 앞으로 이 논문의 방정식들은 현재의 논문과 구분할 수 있도록 "
l.c.
{\displaystyle {\text{l.c.}}}
↑ 이 표현식이 텐서 성질을 갖는다는 간단한 증명은 내가 반복적으로 인용하는 논문의 p.1053에서 찾을 수 있다.
↑ 같은 회의 보고서[Sitzungberichte], p.778.(상단 문서)
↑ 이 논문을 쓸 때 나는 아직 가설
∑
T
μ
μ
=
0
{\displaystyle \sum T_{\mu }^{\mu }=0}
![{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]+\sum _{s\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}\tau }\quad ...(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9e38c4dcd61a9d241aa9366c14db218e50c15e)
![{\displaystyle A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]\quad ...(5a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c921f29a5e60e06ffd97e3a0fdd6b8275e506826)
![{\displaystyle (ik,lm)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{mk}}{\partial x_{l}\partial x_{i}}}\right)+\sum _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }\left(\left[{im \atop \rho }\right]\left[{kl \atop \sigma }\right]-\left[{il \atop \rho }\right]\left[{km \atop \sigma }\right]\right)\quad ...(10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1416cad994d7b860c223e9888089399dd222ff)
![{\displaystyle \left\{ik,lm\right\}=\sum _{\rho }g^{k\rho }(i\rho ,lm)={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop k}\right\}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop k}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left[\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop k}\right\}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop k}\right\}\right]\quad ...(13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175336127da3e25c32cf4806b5385961d8f7497e)
![{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=-\left\{{\mu \nu \atop \sigma }\right\}=-\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad ...(16)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8223881745326f34e158584cb645fb0019d112f)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\right]=0\quad ...(24)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216dfda72728623742f866ca0945f6404e13c9d3)
